Bạn đang căng thẳng lo lắng cho kì thi môn toán cao cấp sắp tới? Đừng lo, bài viết này sẽ giúp bạn về tích phân bội hai (full phương pháp và các kiểu bài tập), bạn có thể dễ dàng vượt qua kì thi sắp tới. Bài viết sẽ cung cấp cho bạn những phương pháp khi giải bài tập về tích phân bội hai. Cũng như những bài tập mẫu về vấn đề này để môn toán cao cấp trở nên dễ thở hơn. Hãy theo dõi bài viết này nhé!
Định nghĩa về tích phân bội hai
Tích phân hai lớp là tên gọi khác của tích phân bội hai, khái niệm của nó được thể hiện ở công thức sau: ∫∫f(x,y)dS
Trong đó, f(x;y): là hàm số
D: là miền lấy tích phân.
S: là diện tích của miền D
x, y: là các biến số.
Công thức trên có nghĩa là khi ta giả sử hàm số f(x;y) là một hàm xác định trong miền D của mặt phẳng bất kỳ Oxy, từ miền D ta chia nó thành n miền nhỏ không chồng lên nhau. Diện tích các miền đó lần lượt là là S1, S2, S3,S4 …Sn. Gọi tên các miền đó là DS1,DS2,DS3,DS4….DSn. Trong một miền bất kì DSi(i=1 – n) ta lấy tùy ý một điểm M1(x1;y1), ta lập tổng gọi nó là tổng tích phân của hàm f(x;y) ở trong miền D. Nếu khi n → N và sao cho max di→ 0 (trong đó di là đường kính của DSi) mà In → I, không phụ thuộc vào cách chia miền D cũng như cách lấy điểm Mi bất kỳ. Và giới hạn này được gọi là tích phân hai lớp của hàm f(x;y) ở trong miền D.
Phương pháp làm bài toán về tích phân bội hai đơn giản dễ hiểu
Để làm bài toán về tích phân bội hai chúng ta có hai phương pháp. Đầu tiên đó là phương pháp đưa về tích phân lặp. Chúng ta giải theo trình tự như sau:
Nếu D = {(x;y): a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x)} thì ta có ∫∫f(x,y)dxdy=∫dx∫f(x,y)dy
Nếu D = {(x;y): c ≤ y ≤ d, φ1(y) ≤ x ≤ φ2(y)} thì ta có ∫∫f(x,y)dxdy=∫dy∫f(x,y)dx
Còn phương pháp thứ hai đó là đổi biến trong tích phân kép. Chúng ta giả sử hai hàm số : x = x(u,v), y = y(u,v) là hai hàm có đạo hàm riêng, liên tục trên miền đóng, bị chặn Dut. Gọi Dxy = {(x;y) : x = x(u,v); y = y(u,v); (u,v)Duv}. Khi đó nếu hàm số f(x,y) khả tích trên Dxy thì theo định thức Jacobi ta sẽ ra được kết quả.
Trên đây là hai phương pháp giải toán bài tập tích phân bội hai dễ hiểu và đơn giản nhất. Với các phương pháp này bạn sẽ dễ dàng làm được những bài toán liên quan đến tích phân bội hai.
Tích phân bội hai với các kiểu bài tập mẫu
Sau khi nắm vững lí thuyết điều kiện để bạn sẽ nhớ lâu hơn đó là bạn phải làm bài tập. Dưới đây là những bài tập cơ bản để bạn có thể làm ôn lại phần lý thuyết đã học ở trên :
Bài 1: Bạn hãy xác định cận của tích phân : f(x,y)dxdy, với miền D xác định bởi các đường:
- a) y = 0, y = x, x = 2
- b) y = 0, y = x2, x + y = 2
Bài 2 :Bạn hãy tính tích phân bội hai với của:xydxdy với miền D được xác định bởi các đường : y= x-4, y=2x theo hai phương pháp đã học.
Trên đây là một số phương pháp giải tích phân bội hai (full phương pháp và các kiểu bài tập) kèm theo đó là một số bài tập cơ bản giúp bạn có thể hiểu rõ về nó. Phương pháp làm bài đơn giản dễ hiểu, bài tập cơ bản. Điều này giúp bạn có thể nhận ra rằng tích phân bội hai thực ra không khó. Nếu biết cách làm, phương pháp làm đúng đắn thì bạn sẽ vượt qua kì thi cuối kì một cách dễ dàng. Để làm bài tốt bạn nên dành thời gian để ôn kỹ lý thuyết và làm thật nhiều bài tập. Bài viêt này hi vọng sẽ giúp bạn một vài phương pháp để làm bài tập nhanh hơn.
