Kết quả cho số các ước nguyên dương của 2^6.3^3 được tính như sau:
(6+1).(3+1) = 28 (ước).
Kết quả cuối cùng cho câu hỏi số các ước nguyên dương của 2^6.3^3 là 28 ước.
Đây là câu hỏi phổ biến trong môn học Đại số lớp 6. Ngoài ra, việc tính số ước cũng cần được luyện tập nhiều. Sau đây là công thức tính số ước nguyên dương của một số tự nhiên, các bạn có thể tham khảo cách tính sau đây để áp dụng cho tất cả các bài tập sau này. Kết hợp với các công thức này sẽ là những bài tập ví dụ đi kèm.
Công thức tính số các ước nguyên dương của một số tự nhiên:
Phân tích số nguyên dương thành thừa số nguyên tố (bằng thủ công hoặc máy tính đều được). Ví dụ tìm các ước nguyên dương của số tự nhiên 234. Nếu thao tác trên máy tính chúng ta thực hiện như sau: 2 3 4 = SHIFT rồi chọn * ’ ”.
Hoặc các bạn có thể phân tích thủ cộng, ta được: 234 = 2.3^2.13.
Từ đó chúng ta có kết luận một ước nguyên dương của số 234 phải có dạng 2^a.3^b.13^c. Trong đó a ∈ {0;1},b ∈ {0;1;2},c ∈ {0;1}.
Theo quy tắc nhân trong tổ hợp, tổng số ước nguyên dương của 234 là: 2.3.2 = 12.
Tương tự như vậy với các số tự nhiên khác chúng ta có thể sử dụng cách này để tìm ước nguyên dương. Tổng kết lại, chúng ta sử dụng định lí như sau:
Giả sử số tự nhiên n được phân tích thành thừa số nguyên tố:
n=p1^m1.p2^m2…pk^mk.
Khi đó số ước số nguyên dương của n là (m1+1)(m2+1)…(mk+1).
Một số ví dụ về số các ước nguyên dương của số tự nhiên
Ví dụ: Tìm số ước nguyên dương của số tự nhiên 70560.
Phân tích 70560 thành thừa số nguyên tố:
70560 = 2^5 . 3^2 . 5 .7^2.
Một ước nguyên dương của 70560 phải có dạng 2^a. 3^b. 5^c. 7^d.
Trong đó a có 6 cách chọn (a ∈ {0;1;2;3;4;5}). Tương tự b có 3 cách chọn; c có 2 cách chọn; d có 3 cách chọn.
Vậy 70560 có tất cả: 6.3.2.3=108 ước số nguyên dương.
Để làm rõ hơn vấn đề, cùng xem ví dụ tiếp theo như sau: Tìm số ước nguyên dương của số tự nhiên 202000.
Ta có: 202000 = 2^4 . 5^3 .101
Do đó 202000 có tất cả (4+1)(3+1)(1+1) = 40 ước số tự nhiên.
Cuối cùng là bài toán được lấy từ đề thi thử trường chuyên Bắc Ninh. Bài toán như sau: Tìm các số ước nguyên dương của số tự nhiên 9465779232.
Trước khi đi đến lời giải, các bạn hãy làm bài tập này theo công thức tính và các ví dụ trên.
Lời giải: Ta có 9465779232=2^5.3^6.7^4.13^2.
Số ước số nguyên dương của 9465779232 là: (5+1)(6+1)(4+1)(2+1)=630.
Mở rộng hơn một chút, nếu đề bài yêu cầu chúng ta tính tổng các ước nguyên dương của một số cho trước, chúng ta có thể thực hiện theo công thức sau: Nếu số nguyên dương n được phân tích thành thừa số nguyên tố:
n=p1m^1.p2^m2…pk^mk. Thì tổng các ước nguyên dương của n là:
σ(n)=(p01+p11+…+pm11)(p02+p12+…+pm22)(p0k+p1k+…+pmkk) (∗) hay σ(n)=∏i=1k(pmi+1i−1pi−1) (∗∗).
Hãy thử ví dụ sau đây để làm quen với công thức này: Tính tổng số ước nguyên dương của số tự nhiên 200.
Lời giải: Ta có 200 = 2^3.5^2.
Nếu áp dụng công thức (*), tổng các ước nguyên dương của 200 là: σ(200) = (20+21+22+23)(50+51+52) = 465.
Nếu áp dụng công thức (**) thì σ(200)=24−12−1.53−15−1=465.
Hãy làm theo các công thức trên cùng với sự luyện tập chăm chỉ các bạn sẽ rèn luyện được kỹ năng tính toán này.